题目内容
【题目】如图1,在中,
分别是
边上的中点,将
沿
折起到
的位置,使
如图2.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)求直线与平面
所成角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)由已知可得,
,可证
平面
,进而有
平面
,即可证明结论;
(Ⅱ)由(Ⅰ)得平面平面
,在正
中过
作
,垂足为
,则有
平面
,以
为坐标原点建立空间直角坐标系,确定
坐标,求出平面
法向量坐标,按照空间向量线面角公式,即可求解.
(Ⅰ)在图1中,
分别为
边中点,
所以,又因为
所以
在图2中,
且
,
则平面
,又因为
,所以
平面
又因为平面
,所以平面
平面
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面
,且
平面
所以平面平面
,又因为平面
平面
在正中过
作
,垂足为
,则
为
中点,
且平面
,分别以
,梯形
中位线,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图坐标系,
则.
.
设平面的法向量为
,
则,
令,则
,
平面的一个法向量为
.
设直线与平面
所成角为
,
则.
所以直线与平面
所成角的正弦值为
.
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