题目内容
【题目】已知点,点P为平面上的动点,过点P作直线l:
的垂线,垂足为Q,且
.
Ⅰ
求动点P的轨迹C的方程;
Ⅱ
设点P的轨迹C与x轴交于点M,点A,B是轨迹C上异于点M的不同的两点,且满足
,求
的取值范围.
【答案】Ⅰ
;
Ⅱ
【解析】
Ⅰ
设
,则
,根据
代入整理即可得P点的轨迹方程;
Ⅱ
表示出MA方程并与轨迹C联立,可得A的坐标,设出直线AB的方程并与C联立,利用根于系数关系得到
的坐标,进而得到
,并用换元思想及二次函数最值可求出
范围
Ⅰ
因为
,设
,则
,
所以,
,
,
,
因为,
所以,
整理得,
所以点P的轨迹C的方程为
Ⅱ
根据题意知
,设MA:
,
联立,解得
,所以点
,
设AB:,
联立,消去x得
,
设,
,则
,
因为,所以
,
则,
所以,
设,则
,
令,对称轴为
,所以y在
上单调递增,
所以当时,y取最小值,即
取最小值,
所以最小值为
,
则最小值为
,
所以取值范围是
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