Question

【题目】解答
（1）若ax＞lnx恒成立，求实数a的取值范围；
（2）证明：a＞0，x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：若ax＞lnx恒成立，

则a＞ ，在x＞0时恒成立，

设h（x）= ，

则h′（x）= = ，

由h′（x）＞0得1﹣lnx＞0，即lnx＜1，得0＜x＜e，

由h′（x）＜0得1﹣lnx＜0，即lnx＞1，得x＞e，

即当x=e时，函数h（x）取得极大值同时也是最大值h（e）= = ．

即a＞ ．

（2）证明：设f（x）=lnx，g（x）=ax，（x＞0），

则f′（x）= ，当g（x）与f（x）相切时，设切点为（m，lnm），

则切线斜率k= ，

则过原点且与f（x）相切的切线方程为y﹣lnm= （x﹣m）= x﹣1，

即y= x﹣1+lnm，

∵g（x）=ax，

∴ ，得m=e，a= ．

即当a＞ 时，ax＞lnx恒成立．

当a= 时，当x0≥ 时，

要使ax＞lnx恒成立．得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．

当0＜a＜ 时，f（x）与g（x）有两个不同的交点，不妨设较大的根为x1，当x0≥x1时，

当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．

∴a＞0，x0∈R，使得当x＞x0时，ax＞lnx恒成立．

【解析】（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，（2）先求出当直线和y=lnx相切时a的取值，然后进行讨论求解即可．