Question

【题目】已知函数， .

（1）令，讨论函数的单调性；

（2）若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）时， 在递增， 递减； 时， 在递增；

时， 在和递增， 递减； 时， 在和递增， 递减；（2）.

【解析】试题分析：（1）求出函数的解析式和定义域，求导，对实数分情况讨论得出单调性；（2）若任意 ,都有恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),

只需 即可，由（1）中的单调性，求出的最小值，再求出的范围。

试题解析：(1)解：h(x)=f(x)-g(x)= ,定义域为

,（x>0）

a0时， >0得x>1; <0得0<x<1.

所以h(x)在（1， ）递增，（0,1）递减

a=1时， ，所以h(x)在（0， ）递增

0<a<1时， >0得0<x<a,或x>1; <0得a<x<1.所以h(x)在（0,a）和(1, )递增，(a,1)递减

a>1时， >0得0<x<1，或x>a； <0得1<x<a. 所以h(x)在（0,1）和(a, )递增，(1,a)递减

综上： a 0时，h(x)在（1， ）递增，（0,1）递减

a=1时，h(x)在（0， ）递增

0<a<1时，h(x)在（0,a）和(1, )递增，(a,1)递减

a>1时，h(x)在（0,1）和(a, )递增，(1,a)递减

(2) 若任意 ,都有恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),

只需 即可

由（1）知， 时，h(x)在递增， =h(1)=4-a 0,解得a 4.又，所以 ，

ae时，h(x)在递减， =h(e)= 解得,又ae，所以 ,1<a<e时，h(x)在递减， 递增。=h(a)=a-(a+1)lna-1+3=a+2-(a+1)lna 0

因为 ，所以h(a)在(1,e)递减。所以，则h(a) 0恒成立，所以1<a<e ,综上：a .