题目内容
一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形
（如图所示，其中O为圆心，
在半圆上），设
，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．
（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求
的值，使体积V最大；
（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
（如图所示，其中O为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；
（2）求
的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．
(1)
；(2)
；（3）是.
；(2)；（3）是.试题分析：（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和
表示出等腰梯形的上底
和高，从图形中可知高为
，而
，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里
的最大值可利用导数知识求解，求出
，解出方程
在
上的解，然后考察在解
的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，
，由于
在体积中出现，因此我们可求
的最大值，这里可不用导数来求，因为
，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里
取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.试题解析：（1）梯形
的面积
=
，
． 2分体积
． 3分（2）
．令
，得
，或
（舍）．∵
，∴
． 5分当
时，
，
为增函数；当
时，
，
为减函数． 7分∴当
时，体积V最大． 8分（3）木梁的侧面积
=
，．
=
，． 10分设
，．∵
，∴当
，即时，
最大． 12分又由（2）知
时，取得最大值，所以
时，木梁的表面积S最大． 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分
练习册系列答案
相关题目
在
处取得极值，求函数
以及
．
在区间
上存在唯一的极值点；
时，若关于
的不等式
恒成立，试求实数
的取值范围. 
的图象是（ ）
的最大值为（ ）
,
是函数
的导函数，且
和
(
),则
在
内有意义．对于给定的正数
，已知函数
，取函数
．若对任意的
，恒有
，则