题目内容

14.定义在R上的奇函数f(x)的导函数满足f′(x)<f(x),且f(x)•f(x+3)=-1,若f(2015)=-e,则不等式f(x)<ex的解集为{0}∪(1,+∞)..

分析 由题意知,f(,1)=1,再令g(x)=$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$(x∈R),从而求导g′(x)=$\frac{{f}^{′}(x)-f(x)}{{e}^{x}}$<0,从而可判断y=g(x)单调递减,从而可得到不等式的解集

解答 解:∵f(x)•f(x+3)=-1,
∴f(x+3)=-$\frac{1}{f(x)}$,
∴f(x+6)=-$\frac{1}{f(x+3)}$=f(x),
即f(x)的周期为6,
∵f(2015)=-e,
∴f(2015)=f(-1)=-e,
∵定义在R上的奇函数f(x),
∴f(1)=e,

①f(x)≠0时,令g(x)=$\frac{f(x)}{{e}^{x}}$,g′(x)=$\frac{{f}^{′}(x)-f(x)}{{e}^{x}}$,
∵f′(x)<f(x),
∴g′(x)=$\frac{{f}^{′}(x)-f(x)}{{e}^{x}}$<0.
即g(x)单调递减,
g(1)=$\frac{f(1)}{e}$=1,
∵g(x)<1=g(1),
∴x>1,
∴不等式f(x)<ex的解集为(1,+∞)
②∵x=0时,f(0)=0<e0=1
∴x=0时,不等式成立.
故答案为{0}∪(1,+∞)

点评 本题考查了导数的综合应用及函数的性质的应用,构造函数的思想,阅读分析问题的能力,属于中档题

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