题目内容
【题目】如图,已知圆:
(
)和双曲线
:
(
),记
与
轴正半轴、
轴负半轴的公共点分别为
、
,又记
与
在第一、第四象限的公共点分别为
、
.
(1)若,且
恰为
的左焦点,求
的两条渐近线的方程;
(2)若,且
,求实数
的值;
(3)若恰为
的左焦点,求证:在
轴上不存在这样的点
,使得
.
【答案】(1);(2)
;(3)见解析
【解析】
(1)依据圆的方程求出点B坐标,进而求出,得到双曲线的渐近线方程;
(2)联立圆与双曲线方程,得到关于的方程,利用根与系数的关系求出
,再根据
建立等式,求出实数
;(3)先证明出AC的长为定值,再根据三角不等式说明,这样的点
不存在。
(1)当时,圆
:
,所以点B的坐标为
,
即有,
,故
的两条渐近线的方程为
;
(2)当时,圆
:
,
:
,
联立 得,
,设
所以,因为点A的坐标是(0,3),由
得
,
,解得
,所以
,
解得,代入
,解得
,
故。
(3)由题意知,点A的坐标是,
,
由得,
,
,
所以用求根公式求得 ,
因为 ,所以
,
即,故
,又
,
故在轴上不存在这样的点
,使得
.
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