题目内容
【题目】已知函数
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,其中
为自然对数的底数,求证:函数
有2个不同的零点;
(3)若对任意的恒成立,求实数
的最大值.
【答案】(1) 在
单调递增,在单调递减
. (2)证明见解析; (3)2
【解析】
(1)求得函数的导数,根据导数值的符号,即可求得函数的单调区间;
(2)由(1)的结论,求得函数的极大值
,再结合实数
与
的关系,即可作出证明;
(3)设,求得
,利用
,求得函数
在
时单调递增,进而分
和
讨论,即可求解,得到结论.
(1)由题意,函数,可得
,
当时,
,
在
单调递增;
当时,令
,则
,令
,则
,
所以在
单调递增,在单调递减
.
(2)由(1)可知,当时,函数
的最大值为:
,
因为,所以
,因此有
,
因为,所以
,因此当
时,函数
有唯一零点;
因为,所以
,
,
故函数在
时,必有唯一的零点,因此函数
有2个不同的零点;
(3)设,
,
,因为
,所以函数
在
时单调递增,
即
当时,即
,
时,
,函数
在
时单调递增,因此有
,即当
时,
恒成立;
当时,
所以存在
,使得
,
即当时,函数
单调递减,所以此时
,
显然对于当时,
不恒成立,
综上所述,,所以实数
的最大值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某生鲜批发店每天从蔬菜生产基地以5元/千克购进某种绿色蔬菜,售价8元/千克,若每天下午4点以前所购进的绿色蔬菜没有售完,则对未售出的绿色蔬菜降价处理,以3元/千克出售.根据经验,降价后能够把剩余蔬菜全部处理完毕,且当天不再进货.该生鲜批发店整理了过往30天(每天下午4点以前)这种绿色蔬菜的日销售量(单位:千克)得到如下统计数据(视频率为概率)(注:x,y∈N*)
每天下午4点前销售量 | 350 | 400 | 450 | 500 | 550 |
天数 | 3 | 9 | x | y | 2 |
(1)求在未来3天中,至少有1天下午4点前的销售量不少于450千克的概率.
(2)若该生鲜批发店以当天利润期望值为决策依据,当购进450千克比购进500千克的利润期望值大时,求x的取值范围.