题目内容
【题目】已知椭圆
：
的离心率为
，点
在椭圆上.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不过原点
的直线
与椭圆相交于
，
两点，与直线
相交于点
，且是线段
的中点，求
面积的最大值.
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
（1）根据离心率为
，点
在椭圆
上，结合性质
，列出关于
、
、
的方程组，求出 、，即可得结果；（2）先判断直线的斜率存在，设直线
的方程为
，与联立消
，得
，由
在直线
上求得
，利用弦长公式、点到直线距离公式，结合三角形面积公式求得
，利用基本不等式可得结果.
（1）由椭圆：
的离心率为，点在椭圆上，得
，解得
，所以椭圆的方程为.
（2）易得直线
的方程为.
当直线的斜率不存在时，
的中点不在直线上，故直线的斜率存在.
设直线的方程为，与联立消，得，所以
.
设
，
，
则
，
.由
,
所以的中点
,
因为在直线上，所以
，解得，
所以
，得
，且
，
，
又原点
到直线的距离
，所以
，当且仅当
，即
时等号成立，符合，且，所以
面积的最大值为.
【题目】党的十八大将生态文明建设纳入中国特色社会主义事业“五位一体”总体布局，“美丽中国”成为中华民族追求的新目标.十九大报告中多次出现的“绿色”“低碳”“节约”等词语，正在走入百姓生活，城市出行的新变革正在悄然发生，绿色出行的理念已深入人心，建设美丽中国，绿色出行至关重要，骑自行车或步行渐渐成为市民的一种出行习惯.某市环保机构随机抽查统计了该市部分成年市民某月骑车次数，统计如下：
次数 年龄 |
|
|
|
|
|
|
18岁至31岁 | 8 | 12 | 20 | 60 | 140 | 150 |
32岁至44岁 | 12 | 28 | 20 | 140 | 60 | 150 |
45岁至59岁 | 25 | 50 | 80 | 100 | 225 | 450 |
60岁及以上 | 25 | 10 | 10 | 19 | 4 | 2 |
联合国世界卫生组织于2013年确定新的年龄分段：44岁及以下为青年人，45岁至59岁为中年人，60岁及以上为老人.
（1）若从被抽查的该月骑车次数在
的老年人中随机选出两名幸运者给予奖励，求其中一名幸运者该月骑车次数在
之间，另一名幸运者该月骑车次数在
之间的概率；
（2）用样本估计总体的思想，解决如下问题：
①估计该市在32岁至44岁年龄段的一个青年人每月骑车的平均次数；
②若月骑车次数不少于30次者称为“骑行爱好者”，根据这些数据，统计并完成下表，说明能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“骑行爱好者”与“青年人”有关？
青年人 | 非青年人 | 合计 | |
骑行爱好者 | |||
非骑行爱好者 | |||
合计 |
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.10 | 0.005 | 0．001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
参数数据：
（其中
）
