题目内容
【题目】已知椭圆的离心率为
,点
在椭圆
上.
(1)求椭圆的方程;
(2)若不过原点的直线
与椭圆
相交于
两点,与直线
相交于点
,且
是线段
的中点,求
面积的最大值.
【答案】(1)椭圆的方程为
;(2)
面积的最大值为:
.
【解析】试题分析:(1)将坐标代入椭圆方程,与离心率联立方程组解得(2)先根据点差法求AB斜率,再设AB点斜式方程,与椭圆方程联立方程组,利用韦达定理以及弦长公式求弦长AB,根据点到直线距离公式得三角形的高,代入三角形面积公式,最后根据基本不等式求最值.
试题解析:(1) 由椭圆C:的离心率为
,点
在椭圆
上得
解得
所以椭圆
的方程为
.
(2)易得直线的方程为
.
当直线的斜率不存在时,
的中点不在直线
上,故直线
的斜率存在.
设直线的方程为
,与
联立消
得
,
所以.
设,则
,
.
由,所以
的中点
,
因为在直线
上,所以
,解得
所以,得
,且
,
又原点到直线
的距离
,
所以,
当且仅当时等号成立,符合
,且
.
所以面积的最大值为:
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某企业有,
两个分厂生产某种产品,规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品.分别从
,
两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值,得到如图频率分布直方图:
(1)根据频率分布直方图,分别求出分厂的质量指标值的众数和中位数的估计值;
(2)填写列联表,并根据列联表判断是否有
的把握认为这两个分厂的产品质量有差异?
优质品 | 非优质品 | 合计 | |
合计 |
(3)(i)从分厂所抽取的100件产品中,利用分层抽样的方法抽取10件产品,再从这10件产品中随机抽取2件,已知抽到一件产品是优质品的条件下,求抽取的两件产品都是优质品的概率;
(ii)将频率视为概率,从分厂中随机抽取10件该产品,记抽到优质品的件数为
,求
的数学期望.
附:
0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 | |
2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |