题目内容
【题目】已知如图1直角三角形ACB中，
，
，
，点
为
的中点，
，将
沿
折起，使面
面
，如图2.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的余弦值.
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
（1）取
的中点
，连
，利用勾股定理、面面垂直和线面垂直性质可分别证得
、
，利用线面垂直判定定理可知
面
，由线面垂直性质得到结论；
（2）以
为原点可建立起空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果.
（1）在图
中，取的中点，连.
在直角
中，
，
，
，
，
，
又点为
的中点，
，有
，
，
，
由
得：
，
，
.
将
沿折起，使面
面
，
由点为的中点，在等边中，
，面
面
，
面，又
面，
，
又
，
，
平面，
面，
又
面，
.
（2）以为原点，分别以
，
，过点且垂直于平面
的直线为
，
，
轴建立如下图所示空间直角坐标系：
则
，
，
，
，
在面
中，设其一个法向量
，
又
，
，
则
，令
，则
，
，
，
在面
中，设其一个法向量
，
又
，
，
则
，令
，则
，
，
，
，
二面角
为锐二面角，
二面角的余弦值为.
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【题目】某企业有
，
两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品．分别从，两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如图频率分布直方图：
（1）根据频率分布直方图，分别求出分厂的质量指标值的众数和中位数的估计值；
（2）填写
列联表，并根据列联表判断是否有
的把握认为这两个分厂的产品质量有差异？
优质品 | 非优质品 | 合计 | |
| |||
| |||
合计 |
（3）（i）从分厂所抽取的100件产品中，利用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；
（ii）将频率视为概率，从分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为
，求的数学期望．
附：
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
