题目内容
12．设函数f（x）=axn（1-x）+b（x＞0），n为正整数，a，b为常数．曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y=1．函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{a{x}^{2}}$（1）求a，b的值；
（2）求曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程．
分析 （1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，由切线方程可得′（1）=-a=-1，可得a=1，由f（1）=b=0；
（2）求出函数g（x）的导数，求得切线的斜率和切点，由点斜式方程，即可得到切线方程．
解答 解（1）因为f（1）=b，由点（1，b）在x+y=1上，可得1+b=1可得b=0，
因为f′（x）=an（1-x）xn-1-axn，所以f′（1）=-a，
又因为切线x+y=1的斜率为-1，所以-a=-1可得a=1，
所以a=1，b=0；
（2）函数g（x）=$\frac{{e}^{x}}{a{x}^{2}}$=$\frac{{e}^{x}}{{x}^{2}}$，
g′（x）=$\frac{{x}^{2}{e}^{x}-2x{e}^{x}}{{x}^{4}}$，
即有曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线斜率为g′（1）=-e，
切点为（1，e），
则曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y-e=-e（x-1），
即为切线方程ex+y-2e=0．
点评 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键．
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| A． | $[-\frac{5π}{24}+\frac{1}{2}kπ，\frac{π}{24}+\frac{1}{2}kπ]（k∈Z）$ | B． | [$\frac{π}{24}+\frac{1}{2}kπ$，$\frac{7π}{24}+\frac{1}{2}kπ$]（k∈Z | ||
| C． | [-$\frac{π}{6}$+$\frac{1}{2}$Kπ，$\frac{π}{12}+\frac{1}{2}kπ$]（k∈Z） | D． | [$\frac{π}{12}+\frac{1}{2}kπ$，$\frac{π}{3}$+$\frac{1}{2}$kπ]（k∈Z） |