Question

【题目】环保部门对5家造纸厂进行排污检查，若检查不合格，则必须整改，整改后经复查仍然不合格的，则关闭．设每家造纸厂检查是否合格是相互独立的，且每家造纸厂检查前合格的概率是 ，整改后检查合格的概率是 ，求：
（Ⅰ）恰好有两家造纸厂必须整改的概率；
（Ⅱ）至少要关闭一家造纸厂的概率；
（Ⅲ）平均多少家造纸厂需要整改？（其中（ ）5≈ ）

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）每家造纸厂必须整改的概率是1﹣0.5，
且每家造纸厂是否整改是相互独立的．
所以恰好有两家造纸厂必须整改的概率是
P1= ×（1﹣0.5）2×0.53= =0.31．
（Ⅱ）某造纸厂被关闭，
即该造纸厂第一次安检不合格，
整改后经复查仍不合格，
所以该造纸厂被关闭的概率是
P2=（1﹣0.5）×（1﹣0.8）=0.1，
从而该造纸厂不被关闭的概率是0.9．
由题意，每家造纸厂是否被关闭是相互独立的，
所以至少关闭一家造纸厂的概率是：
P3=1﹣0.95=0.41；
（Ⅲ）由题设，必须整改的造纸厂数ξ服从二项分布B（5，0.5）．
从而ξ的数学期望是Eξ=5×0.5=2.5，
即平均有2.50家造纸厂必须整改
【解析】（Ⅰ）由每家煤矿必须整改的概率是1﹣0.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的．代入n次独立重复试验中恰好发生k次的概率公式，即可得到答案；（Ⅱ）要至少关闭一家煤矿的概率．则表示该煤矿第一次安检不合格，整改后经复查仍不合格，代入分步事件概率乘法公式即可得到结论；（Ⅲ）由题意，必须整改的煤矿数ξ服从二项分布B（5，0.5），我们计算出ξ的数学期望，根据数学期望易得到平均有多少家煤矿必须整改．