[题目]观察以下各等式:tan 30°+tan 30°+tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°.tan 60°+tan 60°+tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°.tan 30°+tan 45°+tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°.分析上述各式的共同特点.猜想出表示的一般规律.并加以证明．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

【题目】观察以下各等式：

tan 30°＋tan 30°＋tan 120°＝tan 30°·tan 30°·tan 120°，

tan 60°＋tan 60°＋tan 60°＝tan 60°·tan 60°·tan 60°，

tan 30°＋tan 45°＋tan 105°＝tan 30°·tan 45°·tan 105°.

分析上述各式的共同特点，猜想出表示的一般规律，并加以证明．

【答案】见解析

【解析】

先归纳一般规律是：若A＋B＋C＝π，则tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.再利用正切的和差公式加以证明。

一般规律是：若A＋B＋C＝π，

则tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC.

证明：因为tan(A＋B)＝，

所以tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)．

而A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，

于是tanA＋tanB＋tanC＝tan(π－C)(1－tanAtanB)＋tanC＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC＝tanA·tanB·tanC.

练习册系列答案

(1)求这组数据的平均数M.

(2)现根据初赛成绩从第一组和第五组(从低分段至高分段依次为第一组、第二组、…、第五组)中任意选出两人，形成帮扶小组．若选出的两人的成绩之差大于20，则称这两人为“黄金搭档组”，试求选出的两人为“黄金搭档组”的概率．

【题目】过两点A（1，0），B（2，1），且圆心在直线x﹣y=0上的圆的标准方程是

【题目】已知函数f（x）=alnx+ax2+bx，（a，b∈R）．
（1）设a=1，f（x）在x=1处的切线过点（2，6），求b的值；
（2）设b=a2+2，求函数f（x）在区间[1，4]上的最大值；
（3）定义：一般的，设函数g（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使g（x0）=x0成立，则称x0为函数g（x）的不动点．设a＞0，试问当函数f（x）有两个不同的不动点时，这两个不动点能否同时也是函数f（x）的极值点？

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．
（Ⅰ）求证：AB∥EF；
（Ⅱ）若PA=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，求证：AF⊥平面PCD．

【题目】已知各项均不为0的数列{an}满足a1=a，a2=b，且an2=an﹣1an+1+λ（n≥2，n∈N），其中λ∈R．
（1）若λ=0，求证：数列{an}是等比数列；
（2）求证：数列{an}是等差数列的充要条件是λ=（b﹣a）2；
（3）若数列{bn}为各项均为正数的等比数列，且对任意的n∈N* ，满足bn﹣an=1，求证：数列{（﹣1）nanbn}的前2n项和为常数．

【题目】环保部门对5家造纸厂进行排污检查，若检查不合格，则必须整改，整改后经复查仍然不合格的，则关闭．设每家造纸厂检查是否合格是相互独立的，且每家造纸厂检查前合格的概率是，整改后检查合格的概率是，求：
（Ⅰ）恰好有两家造纸厂必须整改的概率；
（Ⅱ）至少要关闭一家造纸厂的概率；
（Ⅲ）平均多少家造纸厂需要整改？（其中（）5≈ ）

【题目】某宾馆在装修时，为了美观，欲将客房的窗户设计成半径为1m的圆形，并用四根木条将圆分成如图所示的9个区域，其中四边形ABCD为中心在圆心的矩形，现计划将矩形ABCD区域设计为可推拉的窗口．

（1）若窗口ABCD为正方形，且面积大于 m2（木条宽度忽略不计），求四根木条总长的取值范围；
（2）若四根木条总长为6m，求窗口ABCD面积的最大值．

【题目】某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组……，第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.

（1）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；

（2）若成绩小于15秒认为良好，求该样本中在这次百米测试中成绩良好的人数；

（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、平均数.

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