Question

14．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB，N是CC₁的中点，M是线段AB₁上的动点（与端点不重合），且AM=λAB₁．
（1）若$λ=\frac{1}{2}$，求证：MN⊥AA₁；
（2）若直线MN与平面ABN所成角的大小为θ，求sinθ的最大值．

Answer 1

分析 （1）如图，建立空间直角系，给出相应点的坐标，只要证明$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{A{A_1}}=0$，即可得出MN⊥AA₁．
（2）设平面ABN的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，利用$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AN}=0\end{array}\right.$，可得$\overrightarrow{n}$．利用$sinθ=|{cos?\overrightarrow{MN}，\overrightarrow n＞}|$=$\frac{|\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{MN}||\overrightarrow{n}|}$即可得出．

解答 （1）证明：如图，建立空间直角系，则
${B_1}（1，0，2），M（λ，0，2λ），B（1，0，0），N（\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1），{A_1}（0，0，2）$．
当$λ=\frac{1}{2}$时，$M（\frac{1}{2}，0，1）$，此时$\overrightarrow{MN}=（0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，0）$，$\overrightarrow{A{A_1}}=（0，0，2）$，
∵$\overrightarrow{MN}•\overrightarrow{A{A_1}}=0$，∴MN⊥AA₁．
（2）解：设平面ABN的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AB}=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AN}=0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}x=0\\ \frac{{\sqrt{3}}}{2}y+z=0\end{array}\right.$，取$\overrightarrow n=（0，2，\sqrt{3}）$．
而$\overrightarrow{MN}=（\frac{1}{2}-λ，\frac{{\sqrt{3}}}{2}，1-2λ）$，
∴$sinθ=|cos＜\overrightarrow{MN}，\overrightarrow{n}＞|$=$\frac{{2\sqrt{3}λ}}{{\sqrt{7}•\sqrt{5{λ^2}-5λ+2}}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}•\sqrt{5-5（{\frac{1}{λ}}）+2{{（{\frac{1}{λ}}）}^2}}}}$，
∵0＜λ＜1，∴$\frac{1}{λ}＞1$，
故$sinθ=\frac{{2\sqrt{3}}}{{\sqrt{7}•\sqrt{5-5（{\frac{1}{λ}}）+2{{（{\frac{1}{λ}}）}^2}}}}≤\frac{{4\sqrt{6}}}{{\sqrt{105}}}=\frac{{4\sqrt{630}}}{105}$=$\frac{4\sqrt{70}}{35}$，
当且仅当$\frac{1}{λ}=\frac{5}{4}$，即$λ=\frac{4}{5}$时，等号成立．
∴sinθ的最大值为$\frac{4\sqrt{70}}{35}$．

点评 本题考查了建立空间直角坐标系解决线线垂直、线面垂直、空间角、向量坐标运算及其夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．