Question

4．如图，A、A′、B、B′是椭圆的顶点，从椭圆上一点P向x轴作垂线，垂足为焦点F，且AB∥OP，FA′=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析 由题意设出椭圆方程，求出AB，OP所在直线的斜率，由斜率相等得到b=c，再由FA′=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$得a-c=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$，然后结合隐含条件求得a，b的值，则椭圆方程可求．

解答 解：由题意可设椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1（a＞b＞0）$．
∵AB∥OP，∴k_AB=k_OP，即$-\frac{b}{a}=-\frac{{b}^{2}}{ac}$，也就是b=c ①．
又FA′=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$，即a-c=$\sqrt{10}$-$\sqrt{5}$ ②．
且a²=b²+c² ③．
联立①②③可得：$a=\sqrt{10}，b=\sqrt{5}$．
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{5}=1$．

点评 本题考查椭圆标准方程的求法，涉及椭圆方程的求解问题，要注意隐含条件a²=b²+c²的应用，是基础题．