Question

【题目】如图，四边形是菱形， 平面， ， ， ，点为的中点．

（）求证： 平面．

（）求证：平面平面．

（）求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）要证线面平行，就要证线线平行，由线面平行的性质定理知平行线是过的平面与平面的交线，由已知取的中点，可证与平行且相等，从而有；（Ⅱ）要证面面垂直，一般先证线面垂直，由（Ⅰ）的证明过程及已知的垂直可知应证平面，而且易证（证平面）；（Ⅲ）由（Ⅱ）知 ．

试题解析：

（Ⅰ）取中点，连接

因为点为的中点，

所以且

又，且，

所以

所以四边形为平行四边形．

所以

又平面， 平面，

所以平面．

（Ⅱ）连接．

因为四边形为菱形， ，所以为等边三角形．

因为为中点，所以，

又因为平面， 平面，所以，

又， 平面，

所以平面．

又所以平面，

又平面，所以平面平面．

法二：因为四边形为菱形， ，所以为等边三角形．

因为为中点，所以，

又因为平面， 平面，

所以平面平面，

又平面， 平面，

所以平面．

又所以平面，

又平面，所以平面平面．

（Ⅲ）因为，

， 所以．