题目内容
【题目】定义:对于函数,若在定义域内存在实数
,满足
,则称
为“局部奇函数”.
(1)已知二次函数,试判断
是否为定义域
上的“局部奇函数”?若是,求出所有满足
的
的值;若不是,请说明事由.
(2)若是定义在区间
上的“局部奇函数”,求实数
的取值范围.
(3)若为定义域
上的“局部奇函数”,求实数
的取值范围.
【答案】(1)f(x)为“局部奇函数”.(2)m∈[﹣,﹣1].(3)1﹣
≤m≤2
.
【解析】
试题(1)利用局部奇函数的定义,建立方程关系,然后判断方程是否有解,有解则是“局部奇函数”,若无解,则不是;(2)(3)都是利用“局部奇函数的定义”,建立方程关系,并将方程有解的问题转化成二次方程根的分布问题,从而求出各小问参数的取值范围.
试题解析:(1)当,方程
即
,有解
所以为“局部奇函数”
(2)法一:当时,
可化为
因为的定义域为
,所以方程
在
上有解
令,则
,设
,则
在
上为减函数,在
上为增函数,所以当
时,
,所以
,即
;
法二:当时,
可化为
因为的定义域为
,所以方程
即
在
上有解
令,则关于
的二次方程
在
上有解即可保证
为“局部奇函数”
设,当方程
在
上只有一解时,须满足
或
,解之得
(舍去,因为此时方程在区间
有两解,不符合这种情况)或
;
当方程在
上两个不等的实根时,须满足
,综上可知
;
(3)当为定义域
上的“局部奇函数”时
,可化为
,
令则
,
从而在
有解,即可保证
为“局部奇函数”
令,则
①当时,
在
有解,即
,解得
②当时,
在
有解等价于
解得;综上可知
.
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