Question

16．已知函数f（x）=log₂x，g（x）=2log₂（2x+a），a∈R．
（1）求不等式1≤f（x²）+|f（x）-1|≤5的解集；
（2）若$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，f（16x）≥g（x），求实数a的取值范围；
（3）设a＞-2，求函数h（x）=g（x）-f（x），x∈[1，2]的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知得1≤2log₂x+|log₂x-1|≤5，由此进行分类讨论能求出原不等式的解集．
（2）由已知得$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，f（16x）_min≥g（x）_max，由此能求出实数a的取值范围．
（3）由h（x）=g（x）-f（x）=2log₂（2x+a）-log₂x=$lo{g}_{2}（\frac{2x+a}{x}）$=$lo{g}_{2}（2+\frac{a}{x}）$，y=log₂x是增函数，根据-2＜a＜0，a=0，a＞0，进行分类讨论，能求出函数h（x）=g（x）-f（x），x∈[1，2]的最小值．

解答 解：（1）不等式1≤f（x²）+|f（x）-1|≤5，即 1≤2log₂x+|log₂x-1|≤5，
∴①当log₂x≥1时，1≤2log₂x+log₂x-1≤5，即 2≤3log₂x≤6．
求得1≤log₂x≤2，可得2≤x≤4．
当log₂x＜1时，1≤2log₂x+（-log₂x+1）≤5，即 0≤log₂x≤4．
求得0≤log₂x＜1，1≤x＜2．
综上可得，原不等式的解集为{x|1≤x≤4 }．
（2）∵$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，f（16x）≥g（x），
∴$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，f（16x）_min≥g（x）_max，
∵$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，f（16x）=log₂（16x）=log₂16+log₂x=4+log₂x≥4+log₂$\frac{1}{4}$=2，
∴$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，f（16x）_min=2，
∵$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，g（x）=2log₂（2x+a）≤2log₂（$\frac{9}{2}$+a），
∴$?x∈[\frac{1}{4}，\frac{9}{4}]$，g（x）_max=2log₂（$\frac{9}{2}$+a），
∴2log₂（$\frac{9}{2}$+a）≤2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}+a＞0}\\{\frac{9}{2}+a＜2}\end{array}\right.$，解得-$\frac{9}{2}$＜a＜-$\frac{5}{2}$，
∴实数a的取值范围是（-$\frac{9}{2}$，-$\frac{5}{2}$）．
（3）∵a＞-2，x∈[1，2]，
∴h（x）=g（x）-f（x）=2log₂（2x+a）-log₂x=$lo{g}_{2}（\frac{2x+a}{x}）$=$lo{g}_{2}（2+\frac{a}{x}）$，
∵y=log₂x是增函数，
∴-2＜a＜0时，2+$\frac{a}{x}$是增函数，[$lo{g}_{2}（2+\frac{a}{x}）$]_min=log₂（2+a），
a=0时，[$lo{g}_{2}（2+\frac{a}{x}）$]_min=log₂2=1，
a＞0时，2+$\frac{a}{x}$是减函数，[$lo{g}_{2}（2+\frac{a}{x}）$]_min=$lo{g}_{2}（2+\frac{a}{2}）$．

点评 本题考查不等式的解法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分类讨论思想和函数性质的合理运用．