Question

8．设函数f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）与直线y=2的相邻两个交点的距离为π，且f（x）-f（-x）=0，若g（x）=sin（ωx+φ），则（　　）

• A． y=g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上递减
• B． y=g（x）在（0，$\frac{π}{6}$）上递减
• C． y=g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上递增
• D． y=g（x）在（0，$\frac{π}{6}$）上递增

Answer 1

分析 由三角函数公式化简可得f（x）=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{3}$），由题意可得周期性和奇偶性，分别可得ω和φ值，可得g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），解2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$结合选项可解得．

解答 解：由三角函数公式化简可得f（x）=sin（ωx+φ）+$\sqrt{3}$cos（ωx+φ）=2sin（ωx+φ+$\frac{π}{3}$），
由与直线y=2的相邻两个交点的距离为π可知函数f（x）的最小正周期为π，
∴$\frac{2π}{ω}$=π，解得ω=2，由f（x）-f（-x）=0可得函数f（x）为偶函数，
∴φ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，结合|φ|＜$\frac{π}{2}$可得φ=$\frac{π}{6}$，∴g（x）=sin（2x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$可解得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
结合选项可得D为正确答案．
故选：D．

点评 本题考查两角和与差的三角函数公式，涉及三角函数图象的性质，属中档题．