Question

18．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的点P（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）到其左、右焦点F₁、F₂的距离之和等于4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若经过点F₁且倾斜角为$\frac{π}{4}$的直线l与椭圆交于A、B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把已知点的坐标代入椭圆方程，再由椭圆的定义知2a=4，从而求出椭圆的方程；
（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立，利用弦长公式，即可求得结论．

解答 解：（Ⅰ）椭圆C的焦点在x轴上，
由椭圆上的点P到F₁、F₂两点的距离之和是4，
得2a=4，即a=2，
又点P（1，$\frac{3}{2}$）在椭圆上，
因此$\frac{1}{4}$+$\frac{9}{4{b}^{2}}$=1，得b²=3，于是c²=1，
所以椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（Ⅱ）直线l的方程为y=x+1，
与椭圆方程联立，可得7x²+8x-8=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=-$\frac{8}{7}$，
∴|AB|=$\sqrt{2}$|x₁-x₂|=$\sqrt{2}$•$\sqrt{（-\frac{8}{7}）^{2}-4•（-\frac{8}{7}）}$=$\frac{24}{7}$．

点评 本题主要考查椭圆的方程与简单性质，考查直线和椭圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．