Question

12．设f（x）=x^a，g（x）=1nx．
（1）若a=1，求证：当x＞0时．f（x）≥g（x）+1；
（2）若a∈R，求关于x的方程f（x）=g（x）实根的个数．

Answer 1

分析 （1）令F（x）=f（x）-g（x）-1=，只需证F_min（x）≥0即可．转而求F（x）的最小值问题．
（2）令H（x）=f（x）-g（x）=x^a-lnx，求出H_min（x），讨论H_min（x）和0的关系，从而得出方程f（x）=g（x）实根的个数．

解答 （1）证明：令F（x）=f（x）-（g（x）+1）=x-1nx-1，则x∈（0，+∞）．
F′（x）=1-$\frac{1}{x}$．
∴当0＜x＜1时，F′（x）＜0，
当x＞1时，F′（x）＞0，
∴F（x）在（0，1]上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．
F_min（x）=F（1）=0．
∴F（x）≥0．即f（x）-（g（x）+1）≥0，
∴f（x）≥g（x）+1．
（2）解：令H（x）=f（x）-g（x）=x^a-lnx，x∈（0，+∞）．
∴H′（x）=ax^a-1-$\frac{1}{x}$
①当a≤0时，H′（x）＜0，∴H（x）在（0，+∞）上是减函数．
∵H（1）=1＞0，H（e）=e^a-1≤0，
∴H（x）在（0，+∞）上只有一个零点．
即f（x）=g（x）有1个实数根．
②当a＞0时，令H′（x）=0解得x=（$\frac{1}{a}$）${\;}^{\frac{1}{a}}$
当0＜x＜（$\frac{1}{a}$）${\;}^{\frac{1}{a}}$时，H′（x）＜0，当x＞（$\frac{1}{a}$）${\;}^{\frac{1}{a}}$时，H′（x）＞0
∴H（x）在（0，（$\frac{1}{a}$）${\;}^{\frac{1}{a}}$）上是减函数，在（（$\frac{1}{a}$）${\;}^{\frac{1}{a}}$，+∞）上是增函数，
∴H_min（x）=H（（$\frac{1}{a}$）${\;}^{\frac{1}{a}}$）=$\frac{1}{a}$（1-ln$\frac{1}{a}$），
（i）若$\frac{1}{a}$（1-ln$\frac{1}{a}$）＞0，即a＞$\frac{1}{e}$时，H_min（x）＞0，
∴H（x）在（0，+∞）上无零点．
即f（x）=g（x）无实数根；
（ii）若$\frac{1}{a}$（1-ln$\frac{1}{a}$）=0，即a=$\frac{1}{e}$时，H_min（x）=0，
∴H（x）在（0，+∞）上只有1个零点．
即f（x）=g（x）有1个实数根；
（iii）若$\frac{1}{a}$（1-ln$\frac{1}{a}$）＜0，即0＜a＜$\frac{1}{e}$时，H_min（x）＜0，
∴H（x）在（0，+∞）上有2个零点．
即f（x）=g（x）有2个实数根；
综上所述：当a≤0或a=$\frac{1}{e}$时，f（x）=g（x）有1个实数根；
当a＞$\frac{1}{e}$时，f（x）=g（x）没有实数根．
当0＜a＜$\frac{1}{e}$时，f（x）=g（x）有2个实数根．

点评 本题考查了函数不等式的证明，导数与函数单调性、极值的关系，零点的个数判断，属于综合题．