Question

4．若数列{a_n}满足a_n=$\frac{{2}^{n}}{{n}^{2}}$，则a_n的最小值为$\frac{8}{9}$．

Answer 1

分析 作差a_n+1-a_n=$\frac{{2}^{n}（{n}^{2}-2n-1）}{（{n}^{2}+n）^{2}}$，对n分类讨论即可得出大小关系．

解答 解：a_n+1-a_n=$\frac{{2}^{n+1}}{（n+1）^{2}}$-$\frac{{2}^{n}}{{n}^{2}}$=$\frac{{2}^{n}（{n}^{2}-2n-1）}{（{n}^{2}+n）^{2}}$，
n=1，2，a₁＞a₂＞a₃；
n≥3，a_n+1＞a_n＞…＞a₃．
则a_n的最小值为a₃=$\frac{8}{9}$．
故答案为：$\frac{8}{9}$．

点评 本题考查了数列的单调性、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．