Question

2．如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点在x轴上，且a-c=$\sqrt{3}$，那么椭圆的方程是$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，结合图形可得$b=\sqrt{3}c$，再由已知a-c=$\sqrt{3}$，隐含条件a²=b²+c²联立方程组求得a，b的值，则椭圆方程可求．

解答 解：如图，
由已知的正三角形，可得$b=\sqrt{3}c$，
联立$\left\{\begin{array}{l}b=\sqrt{3}c\\ a-c=\sqrt{3}\\{a^2}={b^2}+{c^2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}b=3\\ a=2\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴椭圆的方程是$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$．
故答案为：$\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{9}=1$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查了椭圆的简单性质，是基础题．