题目内容
【题目】已知抛物线C:y2=2px(p>0)与圆无公共点,过抛物线C上一点M作圆D的两条切线,切点分别为E,F,当点M在抛物线C上运动时,直线EF都不通过的点构成一个区域,求这个区域的面积的取值范围.
【答案】(0,π)
【解析】
联立圆的方程和抛物线方程,可得的方程,由方程有非负数解,可得
,由
,
既在圆
上,又在以
为直径的圆上,可得切点弦
的方程,考虑关于
的方程有解,可得当
运动时,直线
都不通过的点构成一个区域是圆
,由圆的面积公式可得范围.
解:抛物线与圆
无公共点,
可得即
无非负数解,
即有△,解得
或
,
可得,
设
,
总在圆
外部,即
对一切实数
都成立,
由,即
,即
成立,
点,
在圆
上,也在以
,
,
,
为直径的圆上.
即在上,
上面两个圆的方程相减可得:,
即为直线的方程,化为
,
,
关于的二次方程有实数根,
,
即,
即直线不经过圆
的内部的每一个点.
当运动时,直线
都不通过的点构成一个区域是圆
,
这个区域的面积是,
取值范围是.
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