Question

16．如图，直线l⊥平面α，垂足为O，已知边长为$2\sqrt{2}$的等边三角形ABC在空间做符合以下条件的自由运动：①A∈l，②C∈α，则B，O两点间的最大距离为（　　）

• A． $\sqrt{6}-\sqrt{2}$
• B． $2\sqrt{6}-\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{6}+\sqrt{2}$
• D． $2\sqrt{6}+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先将原问题转化为平面内的最大距离问题解决，以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，B、O两点间的距离表示处理，结合三角函数的性质求出其最大值即可．

解答 解：将原问题转化为平面内的最大距离问题解决．
以O为原点，OA为y轴，OC为x轴建立直角坐标系，如图．
设∠ACO=θ，B（x，y），则有：
x=ACcosθ+BCcos（120°-θ）=2$\sqrt{2}$（$\frac{1}{2}$cosθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sinθ），
y=BCsin（120°-θ）=2$\sqrt{2}$（$\frac{1}{2}$sinθ+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosθ）．
∴x²+y²=8（1+$\frac{\sqrt{3}}{4}$sin2θ），
∴当sin2θ=1时，x²+y²最大，为8+2$\sqrt{3}$，
则B、O两点间的最大距离为$\sqrt{6}$+$\sqrt{2}$．
故选：C．

点评 本题考查了点、线、面间的距离计算，解答关键是将空间几何问题转化为平面几何问题解决，利用三角函数的知识求最大值．