Question

9．已知圆M过C（1，-1），D（-1，1）两点，且圆心M在x+y-2=0上．
（Ⅰ）求圆M的方程；
（Ⅱ）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值．

Answer 1

分析 （1）设出圆的标准方程，利用圆M过两点C（1，-1）、D（-1，1）且圆心M在直线x+y-2=0上，建立方程组，即可求圆M的方程；
（2）四边形PAMB的面积为S=2$\sqrt{|PM{|}^{2}-4}$，因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，利用点到直线的距离公式，即可求得结论．

解答 解：（1）设圆M的方程为：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0），
根据题意得$\left\{\begin{array}{l}{（1-a）^{2}+（-1-b）^{2}={r}^{2}}\\{（-1-a）^{2}+（1-b）^{2}={r}^{2}}\\{a+b-2=0}\end{array}\right.$，解得：a=b=1，r=2，
故所求圆M的方程为：（x-1）²+（y-1）²=4；
（2）由题知，四边形PAMB的面积为S=S_△PAM+S_△PBM=$\frac{1}{2}$（|AM||PA|+|BM||PB|）．
又|AM|=|BM|=2，|PA|=|PB|，所以S=2|PA|，
而|PA|²=|PM|²-|AM|²=|PM|²-4，
即S=2$\sqrt{|PM{|}^{2}-4}$．
因此要求S的最小值，只需求|PM|的最小值即可，即在直线3x+4y+8=0上找一点P，使得|PM|的值最小，
所以|PM|_min=$\frac{3+4+8}{5}$=3，所以四边形PAMB面积的最小值为2$\sqrt{|PM{|}^{2}-4}$=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查圆的标准方程，考查四边形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．