题目内容

3．在四面体ABCD中，若AB=AD，CD=BC，求证：AC⊥BD．

分析 化为等腰三角形内部证明垂直，从而证明BD⊥平面ACE，得到结论．

解答 证明：如图，设BD中点为E，连接AE、CE，
∵△ABD为等腰三角形，
∴AE⊥BD；
同理CE⊥BD．
∴BD⊥平面ACE，
∴BD⊥AC．

点评 本题考查了线面垂直的判定与性质，考查了空间想象能力和推论论证能力，属于基本知识的考查．

练习册系列答案
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13．设椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其左焦点与抛物线C：y2=-4x的焦点相同．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若过此椭圆的右焦点F的直线l与曲线C只有一个交点P，则
①求直线l的方程；
②椭圆上是否存在点M（x，y），使得S△MPF=$\frac{1}{2}$，若存在，请说明一共有几个点；若不存在，请说明理由．
14．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=CD，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F．
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（Ⅱ）求证：PB⊥平面EFD；
（Ⅲ）求二面角P-BC-D的大小．
11．现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为$\frac{3}{4}$；向乙靶射击一次命中的概率为$\frac{2}{3}$，该射手每次射击的结果相互独立，假设该射手进行一次测试，先向甲靶射击两次，若两次都命中，则通过测试，若两次命中一次，则再向乙靶射击一次，命中也可通过测试，其它情况均不能通过测试
（1）求该射手通过测试的概率
（2）求该射手在这次测试中命中的次数X的分布列及数学期望．
18．已知长方体ABCD-A1B1C1D1的体积为216，则四面体AB1CD1与四面体A1BC1D的重叠部分的体积为36．
8．已知函数f（x）=a-$\frac{1}{x}$-lnx（a∈R）．
（1）若a=2，求函数f（x）在（1，e2）上的零点个数（e为自然对数）；
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（3）若f（x）有两零点x1，x2（x1＜x2），求证：2＜x1+x2＜3ea-1-1．
15．已知点F（0，1），直线l1：y=-1，直线l1⊥l2于P，连结PF，作线段PF的垂直平分线交直线l2于点H．设点H的轨迹为曲线r．
（Ⅰ）求曲线r的方程；
（Ⅱ）过点P作曲线r的两条切线，切点分别为C，D，
（ⅰ）求证：直线CD过定点；
（ⅱ）若P（1，-1），过点O作动直线L交曲线R于点A，B，直线CD交L于点Q，试探究$\frac{|PQ|}{|PA|}$+$\frac{|PQ|}{|PB|}$是否为定值？若是，求出该定值；不是，说明理由．
12．设命题p：x2-3x+2＜0，q：$\frac{x-1}{x-2}$≤0，则p是q的（　　）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
13．变量 x，y 满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x+2y≥2}\\{2x+y≤4}\\{4x-y≥-1}\end{array}\right.$，则z=2x-y的最大值为（　　）
A．-1B．1C．4D．6

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