Question

13．设椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，其左焦点与抛物线C：y²=-4x的焦点相同．
（1）求此椭圆的方程；
（2）若过此椭圆的右焦点F的直线l与曲线C只有一个交点P，则
①求直线l的方程；
②椭圆上是否存在点M（x，y），使得S_△MPF=$\frac{1}{2}$，若存在，请说明一共有几个点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点，可得c=1，由离心率公式可得a，再由a，b，c的关系可得b，进而得到椭圆方程；
（2）①讨论直线l的斜率不存在和存在，代入抛物线方程，即可求得斜率k，进而得到直线l的方程；
②由①求出三个交点P的坐标，分别讨论它们，由直线和椭圆方程联立，求交点，即可得到所求点M的坐标．

解答 解：（1）抛物线C的焦点为E（-1，0），
所以c=1．
由$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，得a=2，
所以$b=\sqrt{{a^2}-{c^2}}=\sqrt{3}$，
因此，所求椭圆的方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$（*）；
（2）①椭圆的右焦点为F（1，0），过点F与y轴平行的直线
显然与曲线C没有交点．设直线l的斜率为k．
当k=0时，则直线y=0，过点F（1，0）且与曲线C只有一个交点（0，0），此时直线l的方程为y=0；                                                     
当k≠0时，因直线l过点F（1，0），故可设其方程为y=k（x-1），
将其代入y²=-4x消去y，得k²x²-2（k²-2）x+k²=0．
因为直线l与曲线C只有一个交点P，所以判别式4（k²-2）²-4k²•k²=0，
于是k=±1，即直线l的方程为y=x-1或y=-x+1．
因此，所求的直线l的方程为y=0或y=x-1或y=-x+1．
②由①可求出点P的坐标是（0，0）或（-1，2）或（-1，-2）．
当点P的坐标为（0，0）时，则PF=1．于是${S_{△MPF}}=\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}×1×|y|$，
从而y=±1，代入（*）式联立：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=1\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ y=-1\end{array}\right.$，求得$x=±\frac{{2\sqrt{6}}}{3}$，
此时满足条件的点M有4个$（{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\;1}），\;（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\;1}），\;（{\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\;-1}），\;（{-\frac{{2\sqrt{6}}}{3}，\;-1}）$．
当点P的坐标为（-1，2），则$PF=2\sqrt{2}$，点M（x，y）到直线l：y=-x+1的距离是$\frac{{|{x+y-1}|}}{{\sqrt{2}}}$，
于是有$\frac{1}{2}={S_{△MPF}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{{|{x+y-1}|}}{{\sqrt{2}}}=|{x+y-1}|$，
从而$x+y-1=±\frac{1}{2}$，与（*）式联立：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x+y-1=\frac{1}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x+y-1=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$
解之，可求出满足条件的点M有4个$（{\frac{{6+\sqrt{57}}}{7}，\;\frac{{9-2\sqrt{57}}}{14}}）$，$（{\frac{{6-\sqrt{57}}}{7}，\;\frac{{9+2\sqrt{57}}}{14}}）$，
$（{\frac{11}{7}，-\;\frac{15}{14}}）$，$（{-1，\;\frac{3}{2}}）$．
当点P的坐标为（-1，-2），则$PF=2\sqrt{2}$，
点M（x，y）到直线ly=x-1的距离是$\frac{{|{x-y-1}|}}{{\sqrt{2}}}$，
于是有$\frac{1}{2}={S_{△MPF}}=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×\frac{{|{x-y-1}|}}{{\sqrt{2}}}=|{x-y-1}|$，
从而$x-y-1=±\frac{1}{2}$，与（*）式联立：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x-y-1=\frac{1}{2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x-y-1=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
解之，可求出满足条件的点M有4个$（{\frac{{6+\sqrt{57}}}{7}，\;\frac{{-9+2\sqrt{57}}}{14}}）$，$（{\frac{{6-\sqrt{57}}}{7}，\;\frac{{-9-2\sqrt{57}}}{14}}）$，
$（{\frac{11}{7}，\;\frac{15}{14}}）$，$（{-1，\;-\frac{3}{2}}）$．
综合①②③，以上12个点各不相同且均在该椭圆上，因此，满足条件的点M共有12个．
图上椭圆上的12个点即为所求．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用：联立直线方程求交点，同时考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题和易错题．