Question

【题目】已知 函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＜0时，f（x）＞0．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）判断f（x）在R上的单调性，并加以证明；
（3）解关于x的不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），其中常数a∈R．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵f（x）对一切x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），

令x=y=0，得：f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0，

令y=﹣x，得f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，

∴f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x）是奇函数

（2）解：∵f（x）对一切x，y∈RR都有f（x+y）=f（x）+f（y），

当x＜0时，f（x）＞0．

令x1＞x2，则x2﹣x1＜0，且f（x2﹣x1）=f（x2）+f（﹣x1）＞0，

由（1）知，f（x2）﹣f（x1）＞0，∴f（x2）＞f（x1）．

∴f（x）在R上是减函数

（3）解：f（2x）=f（x）+f（x）=2f（x），f（3x）=f（2x+x）=f（2x）+f（x）=3f（x），

则不等式f（x2）+3f（a）＞3f（x）+f（ax），等价为f（x2）+f（3a）＞f（3x）+f（ax），

即f（x2+3a）＞f（3x+ax），

∵f（x）在R上是减函数，

∴不等式等价为x2+3a＜3x+ax，即（x﹣3）（x﹣a）＜0，

当a=0时，不等式的解集为，

当a＞3时，不等式的解集为（3，a），

当a＜3时，不等式的解集为（a，3）

【解析】（1）利用赋值法即可求f（0），根据函数f（x）的奇偶性的定义，利用赋值法即可得到结论；（2）根据函数单调性的定义即可判断f（x）的单调性； （3）将不等式进行等价转化，结合函数的奇偶性和单调性的性质即可得到结论．