Question

(本小题满分12分)
椭圆的一个焦点与抛物线的焦点重合,且截抛物线的准线所得弦长为,倾斜角为的直线过点. 
（1）求该椭圆的方程；
（2）设椭圆的另一个焦点为,问抛物线上是否存在一点,使得与关于直线对称,若存在,求出点的坐标,若不存在,说明理由.

Answer 1

解：（1）抛物线的焦点为,准线方程为,
∴      ①    
又椭圆截抛物线的准线所得弦长为,  ∴ 得上交点为,
∴    ②…………………4分
由①代入②得,解得或（舍去）,
从而   
∴  该椭圆的方程为该椭圆的方程为 
（2）∵ 倾斜角为的直线过点,
∴ 直线的方程为,即,
由（1）知椭圆的另一个焦点为,设与关于直线对称,
则得   ……10分 解得,即   
又满足,故点在抛物线上。
所以抛物线上存在一点,使得与关于直线对称。

略