题目内容
已知两定点M（4，0），N（1，0），动点P满足|
|=2|
|．
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若点G（a，0）是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A、B两点，令f(a)=
•
，求f（a）的取值范围．
| PM |
| PN |
（1）求动点P的轨迹C的方程；
（2）若点G（a，0）是轨迹C内部一点，过点G的直线l交轨迹C于A、B两点，令f(a)=
| GA |
| GB |
（1）设P的坐标为（x，y），则
=(4-x，-y)，
=(1-x，-y)
∵动点P满足|
|=2|
|，
∴
=2
，
整理得x2+y2=4；
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=a，不妨设A在B的上方，直线方程与x2+y2=4联立，可得A（a，
），B（a，-
），
∴f(a)=
•
=（0，
）•（0，-
）=a2-4；
②当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x-a），
代入x2+y2=4，整理可得（1+k2）x2-2ak2x+（k2a2-4）=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=
∴f(a)=
•
=（x1-a，y1）•（x2-a，y2）=x1x2-a(x1+x2)+k2(x1-a)(x2-a)=a2-4，
由①②得f（a）=a2-4，
∵点G（a，0）是轨迹C内部一点，
∴-2＜a＜2，∴0≤a2＜4，∴-4≤a2-4＜0，
∴f（a）的取值范围是[-4，0）．
| PM |
| PN |
∵动点P满足|
| PM |
| PN |
∴
| (4-x)2+y2 |
| (1-x)2+y2 |
整理得x2+y2=4；
（2）①当直线l的斜率不存在时，直线的方程为x=a，不妨设A在B的上方，直线方程与x2+y2=4联立，可得A（a，
| 4-a2 |
| 4-a2 |
∴f(a)=
| GA |
| GB |
| 4-a2 |
| 4-a2 |
②当直线l的斜率存在时，设直线的方程为y=k（x-a），
代入x2+y2=4，整理可得（1+k2）x2-2ak2x+（k2a2-4）=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
| 2ak2 |
| 1+k2 |
| k2a2-4 |
| 1+k2 |
∴f(a)=
| GA |
| GB |
由①②得f（a）=a2-4，
∵点G（a，0）是轨迹C内部一点，
∴-2＜a＜2，∴0≤a2＜4，∴-4≤a2-4＜0，
∴f（a）的取值范围是[-4，0）．
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2
