Question

1．如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，P、Q分别是线段AD₁和BD上的点，且D₁P：PA=DQ：QB=5：12．
（Ⅰ）求证PQ∥平面CDD₁C₁；
（Ⅱ）求证PQ⊥AD．

Answer 1

分析 （Ⅰ）平面ADD₁A₁内，作PP₁∥AD，与DD₁交于点P₁，平面ABCD内，作QQ₁∥BC，交CD于点Q₁，连接P₁Q₁；证明PQ∥P₁Q₁，得出PQ∥平面CDD₁C₁；
（Ⅱ）证明AD⊥平面D₁DCC₁，得出AD⊥P₁Q₁，从而证明AD⊥PQ．

解答 解：（Ⅰ）如图所示，
在平面ADD₁A₁内，作PP₁∥AD，与DD₁交于点P₁，
在平面ABCD内，作QQ₁∥BC，交CD于点Q₁，连接P₁Q₁；
∵D₁P：PA=DQ：QB=5：12，
∴PP₁∥QQ₁，且PP₁=QQ₁；
∴四边形PQQ₁P₁为平行四边形，
∴PQ∥P₁Q₁；
又P₁Q₁?平面CDD₁C₁，
∴PQ∥平面CDD₁C₁；（6分）
（Ⅱ）∵AD⊥DC，AD⊥DD₁，
且DC∩DD₁=D，DC?平面D₁DCC₁，DD₁?平面D₁DCC₁，
∴AD⊥平面D₁DCC₁，
又P₁Q₁?平面D₁DCC₁，
∴AD⊥P₁Q₁，
又∵PQ∥P₁Q₁，
∴AD⊥PQ．…（13分）

点评 本题考查了空间中的线面平行与垂直关系的应用问题，也考查了空间想象与逻辑推理能力，是综合性题目．