题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为矩形,
,侧面
为等边三角形且垂直于底面
,
是
的中点.
(1)在棱上取一点
使直线
∥平面
并证明;
(2)在(1)的条件下,当棱上存在一点
,使得直线
与底面
所成角为
时,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)上取中点
,证明见详解;(2)
【解析】
(1)找上取中点
,由线线平行推证线面平行;
(2)根据线面角的大小找到棱长的等量关系,再根据三垂线定理,找出二面角的平面角,在三角形中求解余弦值即可.
(1)在上取中点
,在
上取中点
,连接
,作图如下:
由于平行且等于
,
平行且等于
,
所以平行且等于
,
所以四边形是平行四边形,
所以∥
.
直线,
,
所以∥平面
.
(2)取中点
,连接
,
由于为正三角形
∴
又∵平面平面
,平面
平面
∴平面
,
连接,四边形
为正方形。
∵平面
,
∴平面平面
而平面平面
过作
,垂足为
∴平面
∴为
与平面
所成角,
∴
在中,
,
∴,
设,
,
,
∴,
∴
在中,
,
∴
∴,
,
过点H作HN垂直于CD,垂足为N,连接MN,HN
因为MH平面ABCD,则
即为所求二面角的平面角,
在中,因为
,HN=FC=
,
由勾股定理解得
故
故二面角的余弦值为
.
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