题目内容
【题目】如图,在直角梯形中,
,且
分别为线段
的中点,沿
把
折起,使
,得到如下的立体图形.
(1)证明:平面平面
;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)由,结合
,且
,所以
平面
.因为
平面
,所以平面
平面
;(2)过点
作
交
于点
,连结
,则
,又
,所以
平面
,以
为坐标原点,
的方向为
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
,分别根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面
与平面
的一个法向量,根据空间向量夹角余弦公式,可得结果.
试题解析:(1)证明:由题可得,则
,
又,且
,所以
平面
.
因为平面
,所以平面
平面
;
(2)解:
过点作
交
于点
,连结
,则
平面
,
,
又,所以
平面
,
易证,则
,得
,
以为坐标原点,
的方向为
轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系
,则
.
故,
设是平面
的法向量,则
,
令,得
,
设是平面
的法向量,则
,
令,则
,
因为,所以二面角
的余弦值为
.
【方法点晴】本题主要考查利用空间向量求二面角,以及面面垂直的证明,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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