题目内容
【题目】设函数(
).
(1)若函数在定义域上是单调函数,求实数
的取值范围;
(2)求函数的极值点;
(3)令,
,设
,
,
是曲线
上相异三点,其中
.求证:
.
【答案】(1)实数的取值范围是
(2)时,
有唯一极小值点
,
时,
有一个极大值点
和一个极小值点
;
时,
无极值点.
(3)证明见解析
【解析】试题分析:(1)利用导数转化为: 或
在
上恒成立.再根据变量分离转化为对应函数最值:
最大值或
最小值,即得
.(2)实质为讨论一元二次方程
解的情况:当
时,方程无解,函数无极值点;
时,方程有一解,函数有一个极值点;
时,方程有两解,函数有两个极值点;(3)借助第三量
进行论证,先证
,代入化简可得
,构造函数
,其中
(
),利用导数易得
在
上单调递增,即
,即有
,同理可证
,
试题解析:解:(1),
函数
在定义域上是单调函数,
或
在
上恒成立.
若恒成立,得
.
若恒成立,即
恒成立.
在
上没有最小值,
不存在实数
使
恒成立.
综上所述,实数的取值范围是
.
(2)由(1)知当时,函数
无极值点.
当时,
有两个不同解,
,
,
时,
,
,即
,
,
时,
在
上递减,在
上递增,
有唯一极小值点
;
当时,
.
,
,
在
上递增,在
递减,在
递增,
有一个极大值点
和一个极小值点
.
综上所述, 时,
有唯一极小值点
,
时,
有一个极大值点
和一个极小值点
;
时,
无极值点.
(3)先证: ,即证
,
即证
,
令(
),
,
,
所以在
上单调递增,即
,即有
,所以获证.
同理可证: ,
所以.
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