题目内容

如图，已知A（-3，0），B、C两点分别在y轴和x轴上运动，并且满足
AB
•
BQ
=0，
BC
=
1
2
CQ
．
（1）求动点Q的轨迹方程；
（2）设过点A的直线与Q的轨迹交于E、F两点，A′（3，0），求直线A′E、A′F的斜率之和．
（1）设点B、C、Q的坐标分别为（0，b）、（c，0）、（x，y），
则
AB
=(3，b)，
BC
=(c，-b)，
CQ
=(x-c，y)，
BQ
=(x，y-b)．
由
AB
•
BQ
=0，
BC
=
1
2
CQ
．
得
3x+b(y-b)=0
-b=
1
2
y
，消去b得：y2=4x；
（2）设过过点A的直线方程为：y=k（x+3），
联立
y=k(x+3)
y2=4x
，消去y得：k2x2+（6k2-4）x+9k2=0．
设E（x1，y1），F（x2，y2），
则x1+x2=
4-6k2
k2
，x1x2=9．
∴kA′E+kA′F=
y1
x1-3
+
y2
x2-3

=
y1(x2-3)+y2(x1-3)
(x1-3)(x2-3)
=
k(x1+3)(x2-3)+k(x2+3)(x1-3)
x1x2-3(x1+x2)+9

=
2k(x1x2-9)
x1x2-3(x1+x2)-9
=
2k(9-9)
x1x2-3(x1+x2)-9
=0．
练习册系列答案
相关题目
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
为定值，并求这个定值．
如图，直线l：y=x+b与抛物线x2=4y相切于点A．
（1）求实数b的值；
（2）若过抛物线的焦点且平行于直线l的直线l1交抛物线于B，C两点，求△ABC的面积．
如图，椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的顶点为A1，A2，B1，B2，焦点为F1，F2，|A1B2|=
7
，S?A1B1A2B2=2S?B1F1B2F2
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线m过Q（1，1），且与椭圆相交于M，N两点，当Q是MN的中点时，求直线m的方程．
（Ⅲ）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点且与椭圆相交于两点A，B的直线，|
OP
|=1，是否存在上述直线l使以AB为直径的圆过原点？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率为
2
2
，直线l：y=x+2与原点为圆心，以椭圆C的短轴长为直径的圆相切．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点M（0，2）的直线l1与椭圆C交于G，H两点．设直线l1的斜率k＞0，在x轴上是否存在点P（m，0），使得△PGH是以GH为底边的等腰三角形．如果存在，求出实数m的取值范围，如果不存在，请说明理由．
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
6
3
，过点A（0，-b）和B（a，0）的直线与原点的距离为
3
2
．
（1）求椭圆的方程．
（2）已知定点E（-1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆交于C、D两点．问：是否存在k的值，使以CD为直径的圆过E点？请说明理由．
已知F1，F2为椭圆x2+
y2
2
=1上的两个焦点，A，B是过焦点F1的一条动弦，则△ABF2的面积的最大值为（　　）
A．
2
2
B．
2
C．1D．2
2
曲线y=x2上的点到直线2x+y+4=0的最短距离是（　　）
A．
5
5
B．
2
5
5
C．
3
5
5
D．
5
已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点F以及椭圆C2：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦点及左、右顶点均在圆O：x2+y2=1上．
（1）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；
（2）过点F的直线交抛物线C1于A，B两不同点，交y轴于点N，已知
NA
=λ1
AF
，
NB
=λ2
BF
，则λ1+λ2是否为定值？若是，求出其值；若不是，说明理由．

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