题目内容

矩形ABCD的中心在坐标原点，边AB与x轴平行，AB=8，BC=6．E，F，G，H分别是矩形四条边的中点，R，S，T是线段OF的四等分点，R′，S′，T′是线段CF的四等分点．设直线ER与GR′，ES与GS′，ET与GT′的交点依次为L，M，N．
（1）求以HF为长轴，以EG为短轴的椭圆Q的方程；
（2）根据条件可判定点L，M，N都在（1）中的椭圆Q上，请以点L为例，给出证明（即证明点L在椭圆Q上）．
（3）设线段OF的n（n∈N+，n≥2）等分点从左向右依次为Ri（i=1，2，…，n-1），线段CF的n等分点从上向下依次为Ti（i=1，2，…，n-1），那么直线ERi（i=1，2，…，n-1）与哪条直线的交点一定在椭圆Q上？（写出结果即可，此问不要求证明）
（1）由题意，2a=AB=8，2b=BC=6，
∴a=4，b=3，
∴椭圆Q的方程为
x2
16
+
y2
9
=1；
（2）由题意知E（0，-3），R（1，0），G（0，3），R′(4，
4
9
)
可得直线ER的方程为y=3x-3，直线GR′的方程为y=-
3
16
x+3
联立可解得L(
96
51
，
135
51
)，代入椭圆方程
x2
16
+
y2
9
=1成立，得证．
（3）由（2）知，直线ERi（i=1，2，…，n-1）与直线GTi（i=1，2，…，n-1）的交点一定在椭圆Q上．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆的一个焦点为(
2
，0)，且长轴长为短轴长的
3
倍．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的下顶点为A，且椭圆与直线y=kx+m（k≠0）相交于不同的两点M，N．当|AM|=|AN|时，求m的取值范围．
已知椭圆C：
x2
4
+
y2
3
=1，直线l过点M（m，0）．
（Ⅰ）若直线l交y轴于点N，当m=-1时，MN中点恰在椭圆C上，求直线l的方程；
（Ⅱ）如图，若直线l交椭圆C于A，B两点，当m=-4时，在x轴上是否存在点p，使得△PAB为等边三角形？若存在，求出点p坐标；若不存在，请说明理由．
椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1（-1，0）、F2（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且△AOB的面积为
5
．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明
|PQ|
|PM|
+
|PQ|
|PN|
为定值，并求这个定值．
已知曲线C：
x2
m+2
+
y2
3-m
=1（m∈R）．
（Ⅰ）若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，求m的取值范围；
（Ⅱ）设m=2，过点D（0，4）的直线l与曲线C交于M，N两点，O为坐标原点，若∠OMN为直角，求直线l的斜率．
已知F1，F2是椭圆
x2
16
+
y2
9
=1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为______．
已知椭圆M：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)经过如下五个点中的三个点：P1(-1，-
2
2
)，P2（0，1），P3(
1
2
，
2
2
)，P4(1，
2
2
)，P5（1，1）．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设点A为椭圆M的左顶点，B，C为椭圆M上不同于点A的两点，若原点在△ABC的外部，且△ABC为直角三角形，求△ABC面积的最大值．
如图，直线l：y=x+b与抛物线x2=4y相切于点A．
（1）求实数b的值；
（2）若过抛物线的焦点且平行于直线l的直线l1交抛物线于B，C两点，求△ABC的面积．
已知F1，F2为椭圆x2+
y2
2
=1上的两个焦点，A，B是过焦点F1的一条动弦，则△ABF2的面积的最大值为（　　）
A．
2
2
B．
2
C．1D．2
2

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