Question

20．已知向量$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，3），且（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）与（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）垂直，求实数λ的值．

Answer 1

分析 通过题意易知$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=4，${\overrightarrow{a}}^{2}$=5，${\overrightarrow{b}}^{2}$=13，利用（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）与（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）垂直，可得λ${\overrightarrow{a}}^{2}$+（λ-1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=5λ+4（λ-1）-13=0，计算即得结论．

解答 解：∵（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）与（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）垂直，
∴（λ$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$）•（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=λ${\overrightarrow{a}}^{2}$+（λ-1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
又∵$\overrightarrow{a}$=（1，2），$\overrightarrow{b}$=（-2，3），
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=-2+6=4，${\overrightarrow{a}}^{2}$=1+4=5，${\overrightarrow{b}}^{2}$=4+9=13，
∴λ${\overrightarrow{a}}^{2}$+（λ-1）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$-${\overrightarrow{b}}^{2}$=5λ+4（λ-1）-13=0，
解得λ=$\frac{17}{9}$．

点评 本题考查平面向量数量积的运算，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于基础题．