题目内容
15．设函数f（x）的定义域为D，如果存在正实数k，对于任意x∈D，都有x+k∈D，且f（x+k）＞f（x）恒成立，则称函数f（x）为D上的“k型增函数”，已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，若f（x）为R上的“2015型增函数”，则实数a的取值范围是a＜$\frac{2015}{6}$．分析 先求出函数f（x）的表达式，通过讨论x的范围结合绝对值的几何意义，从而求出a的范围．
解答 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=|x-a|-2a，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x-a|-2a，x＞0}\\{-|x+a|+2a，x＜0}\end{array}\right.$，
又f（x）为R上的“2015型增函数”，
（1）当x＞0时，由定义有|x+2015-a|-2a＞|x-a|-2a，
即|x+2015-a|＞|x-a|，其几何意义为到点a小于到点a-2015的距离，
由于x＞0故可知a+a-2015＜0得a＜$\frac{2015}{2}$
当x＜0时，
①若x+2015＜0，则有-|x+2015+a|+2a＞-|x+a|+2a，
即|x+a|＞|x+2015+a|，其几何意义表示到点-a的距离小于到点-a-2015的距离，
由于x＜0，故可得-a-a-2015＞0，得a＜$\frac{2015}{2}$；
②若x+2015＞0，则有|x+2015-a|-2a＞-|x+a|+2a，
即|x+a|+|x+2015-a|＞4a，其几何意义表示到到点-a的距离与到点a-2015的距离的和大于4a，
（2）当a≤0时，显然成立，当a＞0时，由于|x+a|+|x+2015+a|≥|-a-a+2015|=|2a-2015|，
故有|2a-2015|＞4a，必有2015-2a＞4a，解得a＜$\frac{2015}{6}$，
综上，对x∈R都成立的实数a的取值范围是 a＜$\frac{2015}{6}$，
故答案为：a＜$\frac{2015}{6}$．
点评 本题考察了函数的奇偶性，考察新定义问题，根据绝对值的几何意义得到不等式是解答本题的关键，本题是一道中档题．
如图，椭圆M：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，上、下顶点为A，B，点P（0，2）关于直线y=-x的对称点在椭圆M上，过点P的直线l与椭圆M相交于两个不同的点C，D（C在线段PD之间）．
如图，在矩形ABCD中，点E为边CD上任意一点，现有质地均匀的粒子散落在矩形ABCD内，则粒子落在△ABE内的概率等于$\frac{1}{2}$．| 一次购物量 | 1至4件 | 5至8件 | 9至12件 | 13至16件 | 17件以上 |
| 顾客数（人） | x | 30 | 25 | y | 10 |
| 结算时间（分钟/人） | 1 | 1.5 | 2 | 2.5 | 3 |
（1）求x，y的值．
（2）求顾客一次购物的结算时间超过2分钟的概率．
| A． | -2 | B． | $-\frac{1}{2}$ | C． | $\frac{1}{2}$ | D． | 2 |
| $\overline{x}$ | $\overline{y}$ | $\overline{w}$ | $\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）2 | $\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）2 | $\sum_{i=1}^{8}$（xi-$\overline{x}$）（yi-$\overline{y}$） | $\sum_{i=1}^{8}$（wi-$\overline{w}$）（yi-$\overline{y}$） |
| 46.6 | 563 | 6.8 | 289.8 | 1.6 | 1469 | 108.8 |
（Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx与$y=c+d\sqrt{x}$，哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；
（Ⅱ）根据（I）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；
（Ⅲ）已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据（II）的结果回答下列问题：
（i）当年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值时多少？
（ii）当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？并求出最大值
