Question

19．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量$\overrightarrow{m}$=（1-sin$\frac{C}{2}$，-1），$\overrightarrow{n}$=（1，sinC+cosC），且$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$
（1）求sinC的值；
（2）若a²+b²=4（a+b）-8，求边c的长度．

Answer 1

分析 （1）利用量向量垂直得出结论$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，代入坐标整理可求得sinC．
（2）把原等式整理成（a-2）²+（b-2）²=0，求得a和b，根据sinC求得cosC，进而利用余弦定理求得c．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow{m}$⊥$\overrightarrow{n}$
，∴$\overrightarrow{m}$•$\overrightarrow{n}$=0，则1-sin$\frac{C}{2}$-（sinC+cosC）=0，
即1-sin$\frac{C}{2}$=2sin$\frac{C}{2}$cos$\frac{C}{2}$+1-2sin²$\frac{C}{2}$（*），
又$\frac{C}{2}$∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴sin$\frac{C}{2}$∈（0，1），
故（*）可化简为cos$\frac{C}{2}$-sin$\frac{C}{2}$=-$\frac{1}{2}$，两边平方得
1-sinC=$\frac{1}{4}$，
∴sinC=$\frac{3}{4}$．
（2）又a²+b²=4（a+b）-8得（a-2）²+（b-2）²=0，
∴a=2，b=2，
由（1）知cos$\frac{C}{2}$-sin$\frac{C}{2}$=-$\frac{1}{2}$＜0，
∴$\frac{C}{2}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{2}$），c∈（$\frac{π}{2}$，π），
∴cosC=-$\frac{-\sqrt{7}}{4}$，
∴在△ABC中，由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=4+4-2×2×2×（-$\frac{\sqrt{7}}{4}$）=8+2$\sqrt{7}$，
故c=$\sqrt{7}$+1．

点评 本题主要考查了余弦定理的应用．注重了对学生推理能力和解题能力的考查．