题目内容
【题目】已知梯形ABCD中,,如图(1)所示.现将△ABC沿边BC翻折至A'BC,记二面角A'—BC—D的大小为θ.
(1)当θ=90°时,如图(2)所示,过点B作平面与A‘D垂直,分别交于点E,F,求点E到平面的距离;
(2)当时,如图(3)所示,求二面角的正切值
【答案】(1);(2).
【解析】
(1)求得的长,利用等体积法计算出点E到平面的距离.
(2)作出二面角的平面角,由此求得其正切值.
(1)因为平面平面,平面平面,
,平面,
所以平面,又平面,所以,
因为平面,平面,所以
又,平面,
所以平面,又平面,所以,
在中,,
又平面平面,平面平面,
,平面,
所以平面,又平面,所以,
在中,,
所以,
在中,,
设点到平面的距离为,
因为,所以,
,所以;
(2)过点作直线//,过作交于点.
因为,所以,又因为,
所以就是二面角的平面角,
所以,因为,所以,
过点作交于点,连接,
因为,,,所以平面,
又平面,所以平面平面.
又因为平面平面,,平面
所以平面,
因为,,所以平面,
因为平面,所以,
所以是二面角的平面角,
在中,,
,
所以二面角的正切值为.
【题目】疫情期间,有一批货物需要用汽车从城市甲运至城市乙,已知从城市甲到城市乙只有两条公路,且通过这两条公路所用的时间互不影响.据调查统计,通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时间的频数分布如下表:
所用时间 | 10 | 11 | 12 | 13 |
通过公路1的频数 | 20 | 40 | 20 | 20 |
通过公路2的频数 | 10 | 40 | 40 | 10 |
(1)为进行某项研究,从所用时间为12的60辆汽车中随机抽取6辆,若用分层随机抽样的方法抽取,求从通过公路1和公路2的汽车中各抽取几辆:
(2)若从(1)的条件下抽取的6辆汽车中,再任意抽取2辆汽车,求这2辆汽车至少有1辆通过公路1的概率;
(3)假设汽车A只能在约定时间的前11h出发,汽车B只能在约定时间的前12h出发.为了尽最大可能在各自允许的时间内将货物从城市甲运到城市乙,汽车A和汽车B应如何选择各自的道路?