题目内容

【题目】已知圆和点.

1)过点向圆引切线,求切线的方程;

2)求以点为圆心,且被直线截得的弦长为8的圆的方程;

3)设为(2)中圆上任意一点,过点向圆引切线,切点为,试探究:平面内是否存在一定点,使得为定值?若存在,请求出定点的坐标,并指出相应的定值;若不存在,请说明理由.

【答案】1;(2;(3)存在;定点时,定值为或定点时,定值为.

【解析】

1)讨论斜率是否存在:当斜率不存在时,易判断为圆的切线;当斜率存在时,设出直线方程,由圆心到直线距离等于半径,即可求得斜率,进而确定直线方程.

2)由点到直线距离公式可先求得点到直线的距离,再根据所得弦长和垂径定理,即可确定半径,进而得圆的方程;

3)假设存在定点,使得为定值,设,根据切线长定理及两点间距离公式表示出,代入并结合圆M的方程,化简即可求得,进而代入整理的方程可得关于的一元二次方程,解方程即可确定的值,即可得定点坐标及的值.

1)若过点的直线斜率不存在,直线方程为,为圆的切线;

当切线的斜率存在时,设直线方程为

∴圆心到切线的距离为,解得

∴直线方程为

综上切线的方程为.

2)点到直线的距离为

∵圆被直线截得的弦长为8,∴

∴圆的方程为.

3)假设存在定点,使得为定值,设

∵点在圆上,

,则

为圆的切线,

,∴

整理得

若使对任意恒成立,则

,代入得

化简整理得,解得

∴存在定点,此时为定值或定点,此时为定值.

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