题目内容
如图，椭圆
＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为
，且过点A(0,1)．
(1)求k1·k2的值；
(2)求MN的最小值；
(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．
（1）
（2）4
（3）恒过定点(0，－2±2
)
【解析】(1)因为e＝
＝
，b＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为
＋y2＝1.(2分)
设椭圆上点P(x0，y0)，有
＋
＝1，
所以k1·k2＝
.(4分)
(2)因为M，N在直线l：y＝－2上，设M(x1，－2)，N(x2，－2)，
由方程知
＋y2＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，
所以KBM·kAN＝
，(6分)
又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－
，所以x1x2＝－12，(8分)
不妨设x1＜0，则x2＞0，则
MN＝|x1－x2|＝x2－x1＝x2＋
≥2
＝4
，
所以当且仅当x2＝－x1＝2
时，MN取得最小值4.(10分)
(3)设M(x1，－2)，N(x2，－2)，
则以MN为直径的圆的方程为
(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，(12分)
即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圆过定点，
则有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2
，
所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±2)．(16分)
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