题目内容

如图，椭圆＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为，且过点A(0,1)．

(1)求k1·k2的值；

(2)求MN的最小值；

(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．

 

（1）（2）4（3）恒过定点(0，－2±2)

【解析】(1)因为e＝＝，b＝1，解得a＝2，所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1.(2分)

设椭圆上点P(x0，y0)，有＋＝1，

所以k1·k2＝.(4分)

(2)因为M，N在直线l：y＝－2上，设M(x1，－2)，N(x2，－2)，

由方程知＋y2＝1知，A(0,1)，B(0，－1)，

所以KBM·kAN＝，(6分)

又由(1)知kAN·kBM＝k1·k2＝－，所以x1x2＝－12，(8分)

不妨设x1＜0，则x2＞0，则

MN＝|x1－x2|＝x2－x1＝x2＋≥2＝4，

所以当且仅当x2＝－x1＝2时，MN取得最小值4.(10分)

(3)设M(x1，－2)，N(x2，－2)，

则以MN为直径的圆的方程为

(x－x1)(x－x2)＋(y＋2)2＝0，(12分)

即x2＋(y＋2)2－12－(x1＋x2)x＝0，若圆过定点，

则有x＝0，x2＋(y＋2)2－12＝0，解得x＝0，y＝－2±2，

所以，无论点P如何变化，以MN为直径的圆恒过定点(0，－2±2)．(16分)

 

练习册系列答案
相关题目

二维空间中圆的一维测度(周长)l＝2πr，二维测度(面积)S＝πr2，观察发现S′＝l；三维空间中球的二维测度(表面积)S＝4πr2，三维测度(体积)V＝πr3，观察发现V′＝S.则由四维空间中“超球”的三维测度V＝8πr3，猜想其四维测度W＝________.

 

 

设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l使得对于任意x∈M(M⊆D)，有x＋l∈D，且f(x＋l)≥f(x)，则称函数f(x)为M上的l高调函数．现给出下列命题：

①函数f(x)＝x是R上的1高调函数；

②函数f(x)＝sin 2x为R上的π高调函数；

③如果定义域为[－1，＋∞)的函数f(x)＝x2为[－1，＋∞)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是[2，＋∞)．

其中正确的命题是________．(写出所有正确命题的序号)

 

若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．

(1)求椭圆C2的方程；

(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)

 

某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过投资收益的20%.

(1)若建立函数y＝f(x)模型制定奖励方案，试用数学语言表述该公司对奖励函数f(x)模型的基本要求，并分析函数y＝＋2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；

(2)若该公司采用模型函数y＝作为奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值．

 

已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足8Sn＝a＋4an＋3(n∈N*)，且a1，a2，a7依次是等比数列{bn}的前三项．

(1)求数列{an}及{bn}的通项公式；

(2)是否存在常数a＞0且a≠1，使得数列{an－logabn}(n∈N*)是常数列？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

 

平面向量a，b满足|a＋2b|＝，且a＋2b平行于直线y＝2x＋1，若b＝(2，－1)，则a＝________.

 

在正项等比数列{an}中，Sn是其前n项和．若a1＝1，a2a6＝8，则S8＝________.

 

已知a＞b＞0，给出下列四个不等式：①a2＞b2；②2a＞2b－1；③＞－；④a3＋b3＞2a2b.其中一定成立的不等式序号为________．

 

违法和不良信息举报电话：027-86699610 举报邮箱：58377363@163.com

精英家教网