题目内容

若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．

(1)求椭圆C2的方程；

(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)

 

（1）＝1（2）见解析

【解析】(1)由题意可知A1(－，0)，A2(，0)，

椭圆C1的离心率e＝.(3分)

设椭圆C2的方程为＝1(a＞b＞0)，则b＝.

因为＝，所以a＝2.

所以椭圆C2的方程为＝1.(6分)

(2)设P(x0，y0)，y0≠0，则＝1，从而＝12－2

将x＝x0代入＝1得＝1，从而y2＝3－＝，即y＝±.

因为P，H在x轴的同侧，所以取y＝，即H(x0，)．(12分)

所以kA1P·kA2H＝＝－1，从而A1P⊥A2H.

又因为PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心．(16分)

 

练习册系列答案
相关题目

设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，有以下四个命题：

① ⇒β∥γ② ⇒m⊥β③⇒α⊥β④⇒m∥α

其中正确的命题是(　　)

A．①④ B．②③ C．①③ D．②④

 

设函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)在x＝时，取最大值A，在x＝时，取最小值－A，则当x＝π时，函数y的值(　　)

A．仅与ω有关 B．仅与φ有关

C．等于零 D．与φ，ω均有关

 

已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)＜0成立，a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．b＞a＞c B．c＞a＞b

C．c＞b＞a D．a＞c＞b

 

已知e1，e2是两个单位向量，其夹角为θ，若向量m＝2e1＋3e2，则|m|＝1的充要条件是(　　)

A．θ＝π B．θ＝

C．θ＝ D．θ＝

 

已知函数f(x)＝x2－(1＋2a)x＋aln x(a为常数)．

(1)当a＝－1时，求曲线y＝f(x)在x＝1处切线的方程；

(2)当a＞0时，讨论函数y＝f(x)在区间(0,1)上的单调性，并写出相应的单调区间．

 

如图，椭圆＝1(a＞b＞0)的上，下两个顶点为A，B，直线l：y＝－2，点P是椭圆上异于点A，B的任意一点，连接AP并延长交直线l于点N，连接PB并延长交直线l于点M，设AP所在的直线的斜率为k1，BP所在的直线的斜率为k2.若椭圆的离心率为，且过点A(0,1)．

(1)求k1·k2的值；

(2)求MN的最小值；

(3)随着点P的变化，以MN为直径的圆是否恒过定点？若过定点，求出该定点；如不过定点，请说明理由．

 

已知函数y＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图，则φ的值为________．

 

 

锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别是a，b，c，若a＝4，b＝5，△ABC的面积为5，则C＝________，sin A＝________.

 

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