题目内容
若两个椭圆的离心率相等，则称它们为“相似椭圆”．如图，在直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：
＝1，A1，A2分别为椭圆C1的左、右顶点．椭圆C2以线段A1A2为短轴且与椭圆C1为“相似椭圆”．
(1)求椭圆C2的方程；
(2)设P为椭圆C2上异于A1，A2的任意一点，过P作PQ⊥x轴，垂足为Q，线段PQ交椭圆C1于点H.求证：H为△PA1A2的垂心．(垂心为三角形三条高的交点)
（1）
＝1（2）见解析
【解析】(1)由题意可知A1(－
，0)，A2(
，0)，
椭圆C1的离心率e＝
.(3分)
设椭圆C2的方程为
＝1(a＞b＞0)，则b＝
.
因为
＝，所以a＝2
.
所以椭圆C2的方程为＝1.(6分)
(2)设P(x0，y0)，y0≠0，则
＝1，从而
＝12－2
将x＝x0代入
＝1得
＝1，从而y2＝3－
＝
，即y＝±
.
因为P，H在x轴的同侧，所以取y＝
，即H(x0，
)．(12分)
所以kA1P·kA2H＝
＝－1，从而A1P⊥A2H.
又因为PH⊥A1A2，所以H为△PA1A2的垂心．(16分)
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