题目内容
【题目】已知
、
分别为椭圆
的左、右焦点，点关于直线
对称的点Q在椭圆上，则椭圆的离心率为______；若过且斜率为
的直线与椭圆相交于AB两点，且
，则
___.
【答案】
【解析】
根据对称性和中位线判断
为等腰直角三角形，根据椭圆的定义求得离心率.设
根据
得到
，设出直线
的方程，联立直线的方程和椭圆方程，根据根与系数关系列方程，解方程求得
的值.
由于点
关于直线
对称的点Q在椭圆上，由于的倾斜角为
,画出图像如下图所示，由于
是坐标原点，根据对称性和中位线的知识可知为等腰直角三角形，且
为短轴的端点，故离心率
.不妨设
，则椭圆方程化为
，设直线的方程为
，代入椭圆方程并化简得
.设，则
①，
②.由于，故③.解由①②③组成的方程组得
，即
.
故填：（1）；（2）.
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