Question

【题目】已知定义域为[0，e]的函数f（x）同时满足： ①对于任意的x∈[0，e]，总有f（x）≥0；
②f（e）=e；
③若x1≥0，x2≥0，x1+x2≤e，则恒有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：不等式f（x）≤e对任意x∈[0，e]恒成立；
（3）若对于任意x∈[0，e]，总有4f2（x）﹣4（2e﹣a）f（x）+4e2﹣4ea+1≥0，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x1=0，x2=0，得f（0）≤0，

又对于任意的x∈[0，e]，总有f（x）≥0，

∴f（0）=0，

（2）解：证明：设0≤x1≤x2≤e，则x2﹣x1∈（0，e]

∴f（x2）﹣f（x1）=f（（x2﹣x1）+x1）﹣f（x1）≥f（x2﹣x1）+f（x1）﹣f（x1）=f（x2﹣x1）≥0，

∴f（x2）≥f（x1），

∴f（x）在[0，e]上是单调递增的，

∴f（x）≤f（e）=e，

（3）解：∵f（x）在[0，e]上是增函数，

∴f（x）∈[0，e]，

∵4f2（x）﹣4（2e﹣a）f（x）+4e2﹣4ea+1≥0，

∴4f2（x）﹣8ef（x）+4e2+1≥4a[e﹣f（x）]，

当f（x）≠e时，

a≤ ，

令y= = =e﹣f（x）+ ≥e，当且f（x）=e﹣ 时取等号，

∴a≤e，

当f（x）=e时，4f2（x）﹣4（2e﹣a）f（x）+4e2﹣4ea+1=4e2﹣4（2e﹣a）e+4e2﹣4ea+1=1≥0恒成立，

综上所述a≤e．

【解析】（1）令x1=0，x2=0代入即可得到答案，（2）用定义确定函数f（x）在[0，e]上是单调递增的，求出函数的最值即可，（3）先根据函数f（x）的单调性确定函数f（x）的取值范围，再分离参数的方法将a表示出来用基本不等式求出a的范围．