题目内容
【题目】在等比数列{an}中,a1=2,a3 , a2+a4 , a5成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式
(2)若数列{bn}满足b1+ +…+
=an(n∈N*),{bn}的前n项和为Sn , 求使Sn﹣nan+6≥0成立的正整数n的最大值.
【答案】
(1)解:∵等比数列{an}中,a1=2,a3,a2+a4,a5成等差数列.
∴2(a2+a4)=a3+a5,
即2(a2+a4)=q(a2+a4),
∴q=2,
则an=a1qn﹣1=2×2n﹣1=2n,
即 ;
(2)解∵数列{bn}满足b1+ ,
∴b1+ +…+
+
=an+1,
两式相减得 =an+1﹣an=2n+1﹣2n=2n,
则bn+1=(n+1)2n,即bn=n2n﹣1,n≥2,
当n=1时,b1=a1=2,不满足bn=n2n﹣1,n≥2.
即bn= .
当n=1时,不等式等价为S1﹣a1+6=6≥0成立,
当n≥2时,
Sn=2+221+322+423+…+n2n﹣1,①
则2Sn=4+222+323+424+…+n2n,②
②﹣①,得Sn=2+221﹣22﹣23﹣24﹣…﹣2n﹣1+n2n=6﹣ +n2n=6+n2n=6+4﹣2n+1+n2n=10+(n﹣2)2n,
则当n≥2时,不等式Sn﹣nan+6≥0等价为10+(n﹣2)2n﹣n2n+6≥0,
即16﹣22n≥0,则2n≤8,得n≤3,
则n的最大值是3.
【解析】(1)根据等比数列和等差数列的通项公式建立方程关系进行求解即可.(2)利用方程法求出数列{bn}的通项公式,利用错位相减法求出{bn}的前n项和公式,解不等式即可.
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识,掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系.
![](http://thumb.zyjl.cn/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目