Question

【题目】如图，⊙O 为△ABC 的外接圆，AM、AT分别为中线和角平分线，过点B 、C 的⊙O的切线相交于点P ， 联结AP，与 BC和⊙O分别相交于点D 、E .求证：点T是△AME 的内心 .

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

先证明 AT是∠MAE的平分线，即证∠BAM=∠CAP .

如图 ，作CF⊥AB，垂足为F，联结MF.则.

又∠BAC =∠BCP，则.

所以.

又∠AFM=180°-∠BFM=180°-∠FBC=∠ACP ，

所以， △AFM ∽△ACP .则∠BAM=∠CAP .

再证明MD是∠AME 的平分线.

如图，由于 M是BC的中点，所以PO经过点M，且OP⊥BC联结OA、OC、OE .

由切割线定理及射影定理，可得.

所以M 、O 、A、E 四点共圆.于是∠OMA =∠OEA =∠OAE =∠PME .

故∠AMD =∠EMD，即点 T 是△AME的内心.