Question

【题目】已知函数f（x）= 的定义域为R
（1）当a=2时，求函数f（x）的值域
（2）若函数f（x）是奇函数，①求a的值；②解不等式f（3﹣m）+f（3﹣m2）＞0．

Answer 1

【答案】
（1）解：根据题意，若a=2，则f（x）= ，

则有3x= ，

又由3x＞0，则有 ＞0，

解可得：y＜﹣1或y＞1，

即函数f（x）= 的值域为{y|y＜﹣1或y＞1}

（2）解：①、若函数f（x）是奇函数，且其定义域为R，

则有f（0）= = =0，解可得a=1，

②、由①可得，f（x）= =1﹣ ，

分析易得函数f（x）在R上增函数；

f（3﹣m）+f（3﹣m2）＞0f（3﹣m）＞﹣f（3﹣m2）f（3﹣m）＞f（m2﹣3）3﹣m＞m2﹣3m2+m﹣6＜0，

解可得：﹣3＜m＜2，

则不等式f（3﹣m）+f（3﹣m2）＞0解集为{m|﹣3＜m＜2}

【解析】（1）根据题意，可得f（x）= ，将其变形可得3x= ，结合指数函数的性质可得 ＞0，解可得y的取值范围，即可得函数的值域；（2）①、结合题意，由奇函数的性质可得f（0）= = =0，解可得a的值；②、由①可得函数的解析式，分析可得函数f（x）在R上增函数，由此可以将不等式f（3﹣m）+f（3﹣m2）＞0转化为m2+m﹣6＜0，解即可得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数的值域的相关知识，掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，以及对函数奇偶性的性质的理解，了解在公共定义域内，偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数;复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶，两个为奇才为奇．